Tato stránka vysvětluje, jak vypočítat objem pevných předmětů, tj. kolik se do předmětu vejde, pokud jej například naplníte kapalinou.
Oblast je míra toho, kolik prostoru je uvnitř dvourozměrného objektu (více viz naše stránka: Výpočet plochy).
Objem je měřítkem toho, kolik prostoru je uvnitř trojrozměrného objektu. Naše stránka o trojrozměrných tvarech vysvětluje základy těchto tvarů.
V reálném světě pravděpodobně výpočet objemu není něco, co budete používat tak často jako výpočet plochy.
Stále to však může být důležité. Umět vypočítat objem vám umožní například zjistit, kolik místa máte na balení při stěhování, kolik potřebujete kancelářského prostoru nebo kolik džemu se vám vejde do sklenice.
Může být také užitečné pro pochopení toho, co mají média na mysli, když mluví o kapacitě přehrady nebo průtoku řeky.
Poznámka k jednotkám
Plocha je vyjádřena ve čtvercových jednotkách ( 2 ), protože se měří ve dvou rozměrech (např. délka × šířka).
Objem je vyjádřen v kubických jednotkách ( 3 ), protože se měří ve třech rozměrech (např. délka × šířka × hloubka). Krychlové jednotky zahrnují cm3, m3 a kubické stopy. Kubické jednotky zahrnují cm 3, m 3 a kubické stopy.
Objem lze také vyjádřit jako kapacita kapaliny.
Metrický systém
V metrickém systému se kapacita kapaliny měří v litrech, což je přímo srovnatelné s kubickým měřením, protože 1ml = 1cm 3 . 1 litr = 1,000 1,000 ml = 3 XNUMX cm XNUMX .
Imperiální/Anglický systém
V imperiálním/anglickém systému jsou ekvivalentními měřeními tekuté unce, pinty, kvarty a galony, které nelze snadno převést na kubické stopy. Nejlepší je proto držet se buď kapalných nebo pevných objemových jednotek.
Základní vzorce pro výpočet objemu
Objem pevných látek na bázi obdélníku
Zatímco základní vzorec pro oblast obdélníkového tvaru je délka × šířka, základní vzorec pro objem je délka × šířka × výška.
Způsob, jakým odkazujete na různé rozměry, nemění výpočet: můžete například použít „hloubka“ místo „výška“. Důležité je, že se ty tři rozměry násobí dohromady. Můžete násobit v libovolném pořadí, protože to nezmění odpověď (viz naši stránku na násobení více).
Krabička o rozměrech 15 cm šířka, 25 cm délka a 5 cm výška má objem:
15 × 25 × 5 = 1875 cm 3
Objem hranolů a válců
Tento základní vzorec lze rozšířit tak, aby pokryl objem válců a hranoly také. Místo pravoúhlého konce máte prostě jiný tvar: kruh pro válce, trojúhelník, šestiúhelník nebo vlastně jakýkoli jiný mnohoúhelník pro hranol.
V případě válců a hranolů je objemem plocha jedné strany vynásobená hloubkou nebo výškou tvaru.
Základní vzorec pro objem hranolů a válců je tedy:
Plocha koncového tvaru × výška/hloubka hranolu/válce.
Pozor na nekonzistentní jednotky!
Rovná délka kruhové trubky má vnitřní průměr 2 cm a délku 1.7 m. Vypočítejte objem vody v potrubí.
V tomto příkladu potřebujete vypočítat objem velmi dlouhého tenkého válce, který tvoří vnitřek trubky. Plochu jednoho konce lze vypočítat pomocí vzorce pro plochu kružnice πr 2 . Průměr je 2 cm, takže poloměr je 1 cm. Plocha je tedy π × 1 2, což je 3.14 cm 2 .
Délka trubky je 1.7 m, takže pro zjištění objemu je třeba vynásobit koncovou plochu délkou.
Pozor na nekonzistentní jednotky! Plocha je v centimetrech, ale délka je v metrech. Nejprve převeďte délku na cm 1.7 × 1000 = 1700 cm.
Objem je tedy 3.14 × 1700 = 5338 cm 3 . To je ekvivalentní 5.338 litru nebo 0.0053 m 3 .
Objem kuželů a pyramid
Stejný princip jako výše (šířka × délka × výška) platí pro výpočet objemu kužele nebo jehlanu s tím rozdílem, že protože dosáhnou bodu, objem je pouze poměrnou částí celkového objemu, který by byl, kdyby pokračovaly v stejný tvar (průřez) přímo skrz.
Objem kužele nebo jehlanu je přesně jedna třetina objemu, jaký by měl u krabice nebo válce se stejnou základnou.
Plocha tvaru základny nebo konce × výška kužele/pyramidy × 1 /3
Vraťte se na naši stránku Výpočet oblasti pokud si nemůžete vzpomenout, jak vypočítat obsah kruhu nebo trojúhelníku.
Například pro výpočet objemu kužele o poloměru 5 cm a výšce 10 cm:
Plocha uvnitř kruhu = πr 2 (kde π (pi) je přibližně 3.14 a r je poloměr kruhu).
V tomto příkladu plocha základny (kruhu) = πr 2 = 3.14 × 5 × 5 = 78.5 cm 2 .
785 × 1/3 = 261.6667 cm 3
Objem koule
Stejně jako u kruhu potřebujete k výpočtu objemu koule π (pi).
Vzorec je 4/3 × π × poloměr 3 .
Možná se ptáte, jak byste mohli zjistit poloměr koule. Kromě propíchnutí pletací jehlice (účinné, ale koncové pro kuličku!), existuje jednodušší způsob.
Vzdálenost kolem nejširšího bodu koule můžete změřit přímo, například svinovacím metrem. Tento kruh je obvodem a má stejný poloměr jako samotná koule.
Obvod kruhu se vypočítá jako 2 x π x poloměr.
Chcete-li vypočítat poloměr z obvodu, musíte:
Vydělte obvod (2 x π).
Zpracované příklady: Výpočet objemu
Vypočítejte objem válce o délce 20 cm, jehož kruhový konec má poloměr 2.5 cm.
Nejprve vypracujte plochu jednoho z kruhových konců válce.
Plocha kruhu je πr 2 (π × radius × poloměr). π (pi) je přibližně 3.14.
Oblast konce je tedy:
3.14 x 2.5 x 2.5 = 19.63 cm 2
Projekt objem je plocha konce vynásobená délkou, a je tedy:
19.63 cm 2 x 20 cm = 392.70 cm 3
Co je objemově větší, koule o poloměru 2 cm nebo jehlan se základnou 2.5 cm čtverec a výškou 10 cm?
Nejprve zjistěte objem koule.
Objem koule je 4/3 × π × poloměr 3 .
Objem koule je tedy:
4 ÷ 3 x 3.14 × 2 × 2 × 2 = 33.51 cm 3
Poté vypočítejte objem pyramidy.
Objem pyramidy je 1/3 × plocha základny × výška.
Plocha základny = délka × šířka = 2.5 cm × 2.5 cm = 6.25 cm 2
Objem je tedy 1/3 x 6.25 × 10 = 20.83 cm 3
Koule je tedy objemově větší než pyramida.
Výpočet objemu nepravidelných těles
Stejně jako můžete vypočítat plochu nepravidelných dvourozměrných tvarů jejich rozdělením na pravidelné, můžete totéž udělat pro výpočet objemu nepravidelných těles. Jednoduše rozdělte těleso na menší části, dokud nedosáhnete pouze mnohostěnů, se kterými můžete snadno pracovat.
Vypočítejte objem vodního válce o celkové výšce 1 m, průměru 40 cm, jehož horní část je polokulovitá (polovina koule).
Nejprve rozdělíte tvar na dvě části, válec a polokouli.
Objem koule je 4/3 × π × poloměr 3 . V tomto příkladu je poloměr 20 cm (polovina průměru). Protože vrchol je polokulový, jeho objem bude poloviční než u plné koule. Objem této části tvaru tedy:
0.5 × 4/3 × π × 20 3 = 16,755.16 3 cm XNUMX
Objem válce je plocha základny × výška. Zde je výška válce celková výška minus poloměr koule, což je 1m – 20cm = 80cm. Plocha základny je πr 2 .
Objem válcové části tohoto tvaru je tedy:
80 × π × 20 × 20 = 100,530.96 3 cm XNUMX
Celkový objem této nádoby na vodu je tedy:
100,530.96 16,755.16 + 117,286.12 3 = XNUMX XNUMX cmXNUMX.
To je poměrně velké číslo, takže jej můžete raději převést na 117.19 litrů vydělením 1,000 1000 (protože v litru je 3 3 cm XNUMX ). Je však zcela správné vyjádřit jej jako cm XNUMX, protože problém nepožaduje, aby byla odpověď vyjádřena v nějaké konkrétní formě.
Další čtení z dovedností, které potřebujete
Porozumění geometrii
Část Průvodce dovednostmi, které potřebujete
Tato e-kniha pokrývá základy geometrie a zabývá se vlastnostmi tvarů, čar a těles. Tyto koncepty jsou vytvořeny prostřednictvím knihy s vypracovanými příklady a příležitostmi, abyste si procvičili své nové dovednosti.
Ať už si chcete oprášit své základy nebo pomoci svým dětem s učením, tato kniha je pro vás.
Na závěr…
Pomocí těchto principů byste nyní v případě potřeby měli být schopni vypočítat objem téměř čehokoli ve vašem životě, ať už je to balicí bedna, místnost nebo válec na vodu.
Objemový vzorec je matematický výraz používaný k nalezení celkového prostoru (vakua), který zabírá jakýkoli trojrozměrný objekt. Pojďme se podrobně seznámit s objemovými vzorci různých 3D tvarů.
Co je objemový vzorec?
Vzorec používaný k výpočtu celkové kubatury, kterou může objekt pojmout, je jeho objemový vzorec. Jednotka objemu 3-d tvaru je vyjádřena jako jednotky 3 nebo kubické jednotky. Podívejte se na níže uvedenou tabulku objemových vzorců zobrazující objemové vzorce příslušných 3D tvarů.
Pojďme se podrobně seznámit s obecnými objemovými vzorci různých tvarů.
Objemové vzorce 3-D tvarů
Nyní víme, že objemový vzorec se používá k výpočtu objemu trojrozměrného objektu. V této části se seznámíme s objemovými vzorci s příslušnými rozměry různých 3D tvarů.
Objemový vzorec krychle
Objemový vzorec krychle závisí na třech stranách krychle, kde jsou všechny tři strany stejné. Objem krychle je množství, které krychle zabírá. Obecný vzorec objemu krychle je dán takto:
- Objem krychle = a × a × a = a 3 krychlové jednotky, kde „a“ je délka strany krychle.
- Objem vzorce krychle s použitím úhlopříčky lze zadat jako V = (√3×d 3 )/9, kde d je délka úhlopříčky krychle.
Objemový vzorec kvádru
Pro výpočet velikosti prostoru uzavřeného kvádrem použijeme objem kvádrového vzorce. Obecný vzorec objemu kvádru je matematicky vyjádřen jako:
- Objem kvádru = základní plocha × výška krychlové jednotky
- Základní plocha pro kvádr = l × b čtverečních jednotek
- Proto, objem kvádru, V = l × b × h = jednotky lbh 3 , kde „l“, „b“ a „h“ představují délku, šířku a výšku kvádru.
Objemový vzorec kužele
Pro výpočet množství prostoru obsazeného v 3D tvarovém kuželu, který má kruhovou základnu s poloměrem „r“ a výškou „h“, použijeme objemový vzorec kužele. Obecný objemový vzorec kužele je vyjádřen jako:
Objem kužele, V = (1/3)πr 2 h kubické jednotky.
- „r“ je poloměr základny (kruhu) kužele
- „h“ je výška kužele
- π je konstanta s hodnotou buď 22/7 (nebo) 3.142.
Objemový vzorec válce
Objemový vzorec válce se používá k určení množství prostoru (kapacity) obsazeného uvnitř válce. Víme, že základna pravého kruhového válce je kružnice a obsah kružnice o poloměru ‚r‘ je πr 2 . Objem válcového vzorce je tedy
Objem válce = πr 2 h kubických jednotek
- „r“ je poloměr základny (kruhu) válce
- „h“ je výška válce
- π je konstanta, jejíž hodnota je buď 22/7 (nebo) 3.142.
Tedy objem válce přímo úměrný jeho výšce a druhé mocnině jeho poloměru. tj. objem válce se zdvojnásobí, pokud je poloměr válce dvojnásobný.
Objemový vzorec koule
Fotbal je dokonalým příkladem, který připomíná tvar koule. Jedná se o trojrozměrný pevný objekt s kulatou strukturou. Množství vzduchu, které je naplněno v kouli, se nazývá objem koule nebo koule. Objemový vzorec koule je dán takto:
Objem koule = (2/3)πr 2 h
Pokud je průměr koule = 2r
Objem koule je tedy (2/3)πr 2 h = (2/3)πr 2 (2r) = (4/3)πr 3 kubické jednotky
Objem koule je (4/3)πr 3 krychlové jednotky
- „r“ je poloměr koule
- „h“ je výška koule
- π je konstanta, jejíž hodnota je buď 3.142 nebo 22/7.
Objemový vzorec polokoule
Polokoule je polovina koule, objemový vzorec polokoule snadno odvodíme pomocí objemového vzorce koule. Nyní uvážíme, že poloměr koule je „r“ jednotek a objem koule je (4/3)πr 3 .
Objem hemisféry lze tedy zadat jako: V = ½ (4/3)πr 3
Objem polokoule = (2/3)πr 3 krychlové jednotky
- „r“ je poloměr polokoule
- π je konstanta, jejíž hodnota je buď 3.142 nebo 22/7.
Objemový vzorec hranolu
Objemový vzorec hranolu je dán součinem plochy podstavy a výšky hranolu. Je to matematicky vyjádřeno jako:
Objem hranolu V = B × h jednotky 3 .
- „B“ je základní plocha ve čtvercových jednotkách
- «h» je výška hranolu v jednotkách.
Existuje sedm typů hranolů podle tvaru podstav hranolů. Objemový vzorec hranolů závisí na různých podstavách hranolů. Podívejte se na objem hranolu, abyste pochopili koncept objemových vzorců různých hranolů.
Objemový vzorec pyramidy
Objem jehlanu je jedna třetina objemu hranolu (tj. jejich základny a výšky jsou shodné). Tím pádem,
Objem pyramidy (V) = (1/3) (Bh) jednotek 3 , Kde
- B = základní plocha pyramidy ve čtvercových jednotkách
- h = Výška pyramidy (nadmořská výška) v jednotkách
Rozdělte náročné koncepty pomocí jednoduchých vizuálních prvků.
Matematika již nebude těžkým předmětem, zvláště když pochopíte koncepty prostřednictvím vizualizací s Cuemath.
Příklady objemového vzorce
Příklad 1: Válcová nádrž má poloměr 3 jednotky a výšku 8 jednotek, pomocí objemového vzorce zjistěte objem válce a zjistěte jeho povrch.
Řešení:
Zadáno: r = 3 jednotky, h = 8 jednotek
Když dosadíme hodnoty do objemového vzorce válce, který máme,
Objem válce = πr 2 h
V = π(3) 2 (8)
V = π × 9 × 8
V = 72 π
Dosazením hodnoty π = 3.14
V = 72 × 3.14 = 226.08 jednotek 3
Objem válce je 226.08 jednotek 3
Příklad 2: Vzhledem k tomu, že poloměr kužele je 4 jednotky a výška kužele je 9 jednotek. Pomocí objemového vzorce určete objem kužele.
Řešení:
Dáno: Poloměr = 4 jednotky a výška = 9 jednotek
Objemový vzorec kužele = (1/3)πr 2 h.
= 1/3 × 3.14 × 4 2 × 9
= 1/3 x 452.16
=150.72 jednotek 3
∴Objem kužele bude 150.72 jednotek 3
Příklad 3: Pomocí objemového vzorce krychle zjistěte objem kvádru, jehož délka je 9 palců, šířka je 7 palců a výška je 5 palců.
Řešení: Daná délka kvádru = 9 palců, šířka kvádru = 7 palců a výška kvádru = 5 palců.
Objemový vzorec kvádru = l × b × h
Když dosadíme hodnoty l, b a h do objemového vzorce, který máme,
V = 9 × 7 × 5
= 315
= 315 palců 3
∴Objem kvádru bude 315 palců 2
Nejčastější dotazy k objemovým vzorcům
Jaký je objemový vzorec pro kvádr?
Objemový vzorec kvádru je l × b × h kubických jednotek. Zde «l», «b» a «h» označují délku, šířku a výšku kvádru.
Jaký je vztah mezi objemovým vzorcem pro kouli a polokouli?
Objemový vzorec polokoule je polovinou objemového vzorce koule. Udává se jako:
Objem polokoule = ½ (objemový vzorec koule) = ½ (4/3)πr 3 = (2/3)πr 3 krychlové jednotky, kde «r» je poloměr polokoule/koule.
Jaký je objemový vzorec kužele?
Objemový vzorec kužele je matematicky vyjádřen jako, V = (1/3)πr 2 h krychlové jednotky. Zde „r“ je poloměr základny kužele a „h“ je výška kužele.
Jaký je vztah mezi objemovým vzorcem hranolu a pyramidy?
Objemový vzorec jehlanu je 1/3 objemového vzorce hranolu. Udává se jako:
Objem pyramidy = 1/3 (objemový vzorec hranolu) = 1/3 (Bh) kubických jednotek, kde „B“ je základní plocha pyramidy/hranolu daná v jednotkách 2 a „h“ je výška jehlanu/hranolu daná v jednotkách.
